对称群的定义和例子(什么是对称群)

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对称群的定义和例子

对称群是现代抽象代数学的一个重要分支,它旨在研究一些具有对称性质的对象。对称群的概念源于对称性在数学中的应用,例如几何学、组合学等。本文将介绍对称群的定义和例子,并通过详细阐述其特点和性质,帮助读者更好地理解和使用对称群的概念。

对称群的定义和例子(什么是对称群)

什么是对称群

对称群是指所有将一个集合的元素重新排列所形成的群。换句话说,对称群是由一个集合的全体置换所组成的群。一个置换是指集合中元素的重新排序,这种重新排序可以是任意的。对称群的运算是指两个置换的复合运算,并且满足结合律、单位元和逆元的定义。

对称群的例子

下面给出一些对称群的例子:

1. 三个元素的对称群

考虑一个集合{1, 2, 3},其中的元素可以重新排列。它的对称群可以表示为S3,即由所有的置换组成的群。对称群S3有6个元素,分别是(1)(2)(3)、(1 2)、(1 3)、(2 3)、(1 2 3)和(1 3 2)。

2. 四个元素的对称群

类似地,考虑一个集合{1, 2, 3, 4},它的对称群可以表示为S4。对称群S4有24个元素,其中包含了各种不同的置换方式。

3. 五个元素的对称群

对称群S5是由一个集合{1, 2, 3, 4, 5}的所有置换组成的群。这个群有120个元素,包括了各种不同的置换形式。

对称群的特点和性质

对称群具有以下特点和性质:

1. 置换的复合运算

对称群的运算是指两个置换的复合运算。给定两个置换p和q,它们的复合运算可以表示为p∘q,也就是先应用置换q,再应用置换p。

2. 结合律

对称群的复合运算满足结合律。即对于任意的置换p、q和r,有(p∘q)∘r = p∘(q∘r)。

3. 单位元

对称群的单位元是指使任意置换与单位元进行复合运算后保持不变的置换。在对称群中,单位元是指将集合中的元素保持不变的置换,通常用(1)(2)...(n)来表示。

4. 逆元

对称群中的每个置换都有一个逆元,即与其进行复合运算后得到单位元的置换。例如,对于置换p,它的逆元可以表示为p的逆置换p^-1。

5. 群的阶

对称群的阶是指其元素的个数。对称群S_n的阶是n的阶乘n!。例如,对称群S4的阶是4的阶乘24。

6. 对称群的子群

对称群可以有多个子群,其中最著名的是循环群和交错群。循环群是由一个置换的幂次运算形成的群,交错群是由交换置换形成的群。

对称群作为一个重要的代数结构,广泛应用于数学和物理学中。它的定义和例子为我们提供了研究对称性质的有力工具。通过对对称群特点和性质的详细阐述,我们可以更好地理解和运用对称群的概念,并在实际问题中应用其相关理论和方法。

The End

发布于:2024-04-02,除非注明,否则均为悠哉旅游网原创文章,转载请注明出处。